Friday, July 14, 2006

POLINOMIOS

APRENDIENDO POLINOMIOS
1.-¿Qué es el álgebra?

"El Álgebra es la rama de la matemática que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

Proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos)."

ALGEBRA, AURELIO BALDOR, EDIT. PUBLICACIONES CULTURAL, VIGESIMA PRIMERA REIMPRECION, 20003


Página consultada el 14 de julio del 2006, disponible en la Web:

CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

2.-Historia del Álgebra:

La historia del Álgebra, se remonta desde el siglo XVII aC., donde los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado, o sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas.

Alrededor del siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra básica que usaron para resolver problemas cotidianos como, repartición de víveres, de cosechas y de materiales.
Desarrollaron un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Por el siglo I dC. los matemáticos de China redactaron el libro Jiu zhang suan shu ( que significa: "El Arte del cálculo".

Estaba compuesto por diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, y con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

Un siglo después, los principales matemáticos estuvieron alojados en Grecia, como el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética, en la expuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo siguiente Diofanto de Alejandría publicó su obra en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa en las ecuaciones de prier y segundo grado.

Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Marcó las bases de la matemáticas modernas.

En el siglo IX, época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebráicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

El nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco.

El siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

Alrededor de 1545 y 1560, los italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

Girolamo Cardano

Girolamo Cardano

Rafaello Bombelli

En el año de 1637 el francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.

3.-¿Qué es una expresión algebraica?

Expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.

Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión, que es una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -.
1º- La expresión algebraica formada por un solo término, llamada monomio.

Ejemplo: 8c4


2º- La expresión algebraica formada por dos términos, llamada binomio.
Ejemplo: 7xz3 + 2ac

3º- La expresión algebraica formada por tres términos, llamada trinomio.
Ejemplo: 5xz4 – 2yz3 + 7bc7

4º- La expresión algebraica formada por varios términos, llamada polinomio.
Ejemplo: 2xy8 + 7ab3 + 8zx8 + 4ac5

CITAS Y RFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

Información extraída de las siguientes páginas web, el día 14/07/06

4.-¿Cómo determinar los grados? Absoluto y relativo:
GRADO:
El grado es una característica de los polinomios relacionado con los exponentes de sus variables.

GRADO de un monomio:

Grado Relativo (G.R.): Se refiere a una de las variables del monomio y es el exponente de dicha variable.
Grado Absoluto (G.A.): O simplemente grado, se calcula sumando los exponentes de las variables.
Por ejemplo:
Grado de un polinomio:
Grado Relativo (G.R.): Se refiere a unas de las variables de la expresión y es el mayor exponente

Grado Absoluto (G.A.): O simplemente grado del polinomio, se calcula indicando el mayor grado absoluto de uno de sus términos.

5.-Clases de polinomios.

MONOMIO

BINOMIO

TRINOMIO

POLINOMIO

4X

8X+5

X2 + 3X - 5

X4 + 2X2 – X +6

2XY

6X2 + Y2

2X2 + 2Y + 3

Y5 + Y3 – Y2 + 5

7Y

5Y2 – X2

3Y2 + 3Y – 5

Z5 + Z2 – Z + 3

3XY

9X + B

Z2 - 5Y + 5

X6 + X4 - X2 + 5

6.-Operaciones con polinomios:
Suma de Polinomios:
Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.


Hallar S(x) = A(x) + B(x)

Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado


Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que:


por lo tanto queda:



Otra forma de resolver es
S(x) = A(x) + B(x) =


eliminando los paréntesis queda:


operando con los coeficientes, se obtiene:

Propiedades de la adición:

a) Ley de cierre
La suma de dos o más polinomios da un polinomio

b) Propiedad asociativa

c) Existencia del elemento neutro

recordar que al polinomio 0 se lo denomina polinomio nulo.

d) Existencia del opuesto aditivo

e) Propiedad conmutativa


Debe prestarse atención a la existencia del opuesto aditivo. Para obtener el opuesto aditivo de un polinomio basta con cambiar el signo de cada uno de sus términos.


Para tener en cuenta:
El grado de la suma o adición de polinomios es igual o menor que el grado del polinomio sumando de mayor grado. "...(1)

Resta o sustracción de polinomios

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

http://www.educared.net/concurso/61/restapolinomios.gif

Ejemplo:

Restar 4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 - (- 5x3 -x2 +2x )

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- + 5x3 --+ x2 -2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 4x2 + 4x +5

Multiplicación de polinomios

http://www.educared.net/concurso/61/Productopolinomios.gif

El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

Álgebra

Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

Álgebra

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

Álgebra

En otras palabras:

"Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")
Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.
En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.
En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.

Polinomios"...(2)

División de polinomios


"La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente

- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante

- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial

- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una división completa:

Ejemplo:

Polinomios"...(3)

Existen método para dividir a parte del tradicional como:

Método de Horner:

Potenciación de polinomios

La potenciación de monomios es un caso particular de la multiplicación de los mismos. Es una multiplicación de factores monomios iguales.

Así:

(-8x2y4)3 ; significa:

(-8x2y4)3 (-8x2y4)3 (-8x2y4)3

= (-8) (-8) (-8) ( x2) ( x2) ( x2) (y4) (y4) (y4)

= (-8)3 (x2)3 (y4)3

= -512x6y12

Bibliografía:

* Adicion de polinomios

(1) EJERCITANDO.com.ar. Página Web consultada el 08 de julio del 2006:

http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

Esta página se actualizó el 15 de Marzo de 2001. Contactar con ejercitando.com.ar para cualquier comentario o error.

* Sutracción de polinomios

La información ha sido extraída de la siguiente página Web:

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

Página Web consultada el 08 de julio del 2006.

* Multiplicación de polinomios

(2)Página Web consultada el 08 de julio del 2006:

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

* División de polinomios

(3) Esta información fue extraída de la siguiente página Web:

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

Rincondelvago.com desde 21 de Febrero de 1.998 - Salamanca El Rincón del Vago, S.L. - C.I.F.: B-37360278 - Condiciones de Uso - Contacto

Página Web consultada el 9 de julio del 2006

* Potenciación de polinomios

MATEMÁTICA, Segundo año de secundaria. Editorial BRUÑO. COVEÑAS NAQUICHE Manuel. Página 156.

Consultado el 05 de julio del 2006.

7.-¿Qué es un producto notable?

Los productos notables son aquellos que se pueden hallar sin tener que efectuar paso por paso la multiplicación, sino por simple observación y empleando la fórmula debida.

FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA SUMA
( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADESCUBO DE UNA DIFERENCIA
( a - b )2 = a2- 2ab + b2
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADESPRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA
(a + b)(a - b) = a2 -b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x +ab

Bibliografía:

* Productos Notables.

Página Web consultada el 04 de julio del 2006:

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/formulpn.htm

*El cuadro que contiene las fómulas de

los productos notables fue extraído de la siguiente Web, consultada el 04 de julio del 2006:

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN

© 1997 Lucas Morea / Sinexi S.A.

8.-Aplicaciones, problemas